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数学家描述了一种新的形状,这种形状在自然界中很常见ーー从鹦鹉螺标志性的螺旋壳的腔室,到种子长成植物的方式。这项工作考虑了“密铺”这一数学概念:形状如何在表面上镶嵌。自古以来,用相同的图形填充平面的问题已经得到了充分探索,以至于人们很容易认为已经没有什么可发现的了。但是研究人员用一组新的具有圆角的几何图形推导出了密铺的原则,他们将其称为“软细胞(soft cells)”。研究人员在自然界中发现了软密铺,包括辫状河流中岛屿的二维形状、洋葱同心层的横截面和组织的生物细胞,以及鹦鹉螺等软体动物的螺旋壳的三维腔室。他们认为,大自然通常寻求避开角落,因为这样的拐角的变形能量成本很高,可能是结构弱点的来源。
在将圆周率 π 计算到 105 万亿位之后, StorageReview 团队再接再厉将其进一步计算到了 202 万亿位。他们使用了英特尔至强 8592+ CPU 和 Solidigm P5336 61.44TB NVMe SSD,连续计算了差不多 85 天,在 28 个 Solidigm SSD 上占用了近 1.5 PB 的空间,演示了计算能力和效率的巨大进步。上一次它使用了 256 核的 AMD EPYC Bergamo 系统,这一次是 128 核的至强。研究人员指出,圆周率计算以前是受制于计算能力,如今关键是存储和可靠性。AMD 和英特尔机器在性能上相差不大,他们的重心是磁盘的 I/O 效率。
匈牙利数学家 Tibor Radó 在大学期间主修的是土木工程,一次世界大战中断了他的学业,他被派往前线,被俄罗斯俘获送到了西伯利亚的劳改营,在狱友的指导下学习数学。四年后他成功逃狱,穿越北极数千英里返回了祖国,重新回到学校。他在 1920 年代发表了数十篇数学论文,1930 年接受了俄亥俄州立大学的教职,任职达 35 年。他在晚年对图灵停机问题进行了提炼,1962 年在一篇论文里将重新表述的图灵停机问题称之为忙碌海狸游戏。忙碌海狸数通常用 BB(n)表示,它是一个快速增长的大数。现在程序员和业余数学家合作,使用形式化证明工具 Coq 证明 BB(5)=47,176,870。BB(6)需要证明 Collatz 猜想(Collatz conjecture),短期内难以突破。
黎曼猜想是数论中最重要的未解决难题,被希尔伯特(David Hilbert)列入其著名的 23 问题之一,也是千禧年百万美元大奖难题之一。尽管有无数数学家皓首穷经,但它的进展仍然甚微。现在 MIT 数学家 Larry Guth 和牛津数学家 James Maynard(2022 年菲尔茨奖得主) 在 arXiv.org 上发表了一篇论文,改进了一个逾 50 年无进展的结果,陶哲轩表示这是一次重大突破,虽然距离完全解决黎曼猜想还有很长的路。黎曼猜想是关于黎曼 ζ 函数零点分布的猜想,它提出所有的非平凡零点都应该位于直线 x=1/2 + i t 上。数学家 Albert Ingham 在 1940 年证明,在 0.75 ≤ x ≤ 1 之间,最多有 y^(3/5+c)个零点,其虚部最多为 y,c 是 0 到 9 之间的常数。Maynard 和 Guth 改进了 Ingham 的估计,他们证明在 0.75 ≤ x ≤ 1 之间,最多有 y^[(13/25)+c]个零点,其虚部最多为 y。波恩大学的数论学家 Valentin Blomer 解释说,作者从定量上指出,黎曼函数的零点离临界直线越远,就越稀少。
6 月 13 日达摩院公布 2024 阿里巴巴全球数学竞赛决赛入围名单,17 岁的姜萍击败众多世界名校的选手,以全球第 12 名的成绩爆冷入围。这一消息迅速登上热搜。之所以引发人们广泛关注,是因为她来自江苏涟水中等专业学校服装设计专业的一名中专生,还是入围名单上前三十名里的唯一女生。排在姜萍前面的、第 1 名到第 11 名的选手,分别来自北京大学、英国剑桥大学、清华大学,以及美国的 4 所名校:麻省理工学院、加州理工学院、普林斯顿大学、卡耐基梅隆大学。阿里巴巴全球数学竞赛不设报名条件,向全球所有数学爱好者开放。预选赛为开卷考试,允许查阅、参考线上/线下资料,允许使用编程软件答题。但决赛为闭卷考试,不允许参考任何资料或者使用科学计算软件,考题范围涉及到更高等的数学如代数与数论、几何与拓扑、分析与方程、组合与概率、应用与计算数学,决赛时间是 6 月 22 日。这次进入决赛的选手除了姜萍中专外,还有多名初中生和高中生。
从数学家变为量化投资人的亿万富翁 Jim Simons 于周五去世,享年 86 岁。在发表了对量子场论、弦论和凝聚态物理学的突破性数学研究后,Simons 创办了对冲基金文艺复兴科技公司,以在尽可能短时间内赚到尽可能多的钱。他毕业于 MIT,在加州伯克利获得博士学位,先后任教于 MIT、哈佛和纽约石溪,Chern–Simons 形式就以他和陈省身的名字命名。他创办的文艺复兴科技雇佣的是数学家和科学家,而不是 MBA 和金融分析师,使用计算机和数学模型处理数据。文艺复兴科技的四只基金中成立于 1988 年的大奖章(Medallion)基金规模最大也最成功,它创造了逾千亿美元的交易利润,平均年回报率 66%,远超巴菲特(Warren Buffett)和索罗斯(George Soros)等著名投资人。到 2020 年 Jim Simons 的量化投资方法占到了华尔街交易业务的三分之一。2010 年 Simons 从 CEO 一职退休时他的财富高达 100 亿美元,十年后又翻了一番。他将自己的财富投入到慈善事业,是基础科学研究的最大私人赞助人之一。他的基金在 2011 年向石溪大学捐赠了 1.5 亿美元,大部分资金用于医学科学研究。去年又再次捐赠了 5 亿美元。
Google Cloud 开发大使 Emma Haruka Iwao 的团队在 2022 年耗时 158 天将圆周率 π 计算到了小数点后 100 万亿位。现在 StorageReview 的一个团队耗时 75 天将圆周率 π 计算到了小数点后 105 万亿位——第 105 万亿位是数字 6。StorageReview 团队使用了 2P 128 核心AMD EPYC Bergamo 系统,1.5TB 内存和约 1PB Solidigm QLC SSD,操作系统是 Windows Server 2022 (21H2),从 2023 年 12 月 19 日开始计算,到 2024 年 2 月 27 日结束,总计算时间 62.08 天。
小数点是“人类向前迈出的一步”,使现代科学技术的计算变得简单高效。此前人们普遍认为小数点最早出现于德国数学家 Christopher Clavius 1593 年撰写的天文表中。但发表于《数学史》的研究分析了意大利商人、数学家 Giovanni Bianchini 在 1440 年代编制的天文表,发现小数点的发明比之前认为的早 150 年左右。历史学家认为,这一发现改写了数学基础发现之一的起源,并表明 Bianchini 受过的经济训练与其他天文学家形成了鲜明对比,这可能在数学史上发挥了比此前认为的还要显著的作用。Bianchini 在掌管统治费拉拉公国的强大埃斯特家族遗产前是一名威尼斯商人。除了管理资产和指导投资外,Bianchini 还负责占星,这意味着他必须掌握天文学。他出版了从行星运行到预测日食等主题的多本著作。
旅行推销员问题是最古老的计算问题之一:“给定一系列城市和每对城市之间的距离,求解访问每座城市一次并回到起始城市的最短回路。”看起来简单,但求解十分困难。它被认为是一个 NP 完全问题。它的一种形式化方法是整数线性规划。60 多年以来研究人员提出多种解决整数线性规划的算法,但都比较慢,过去四十年改进甚微。普林斯顿高等研究院的 Victor Reis 和华盛顿大学的 Thomas Rothvoss 最近的工作实现了整数线性规划求解算法的最大速度提升,被认为代表了近 40 年来首次求解器的重大改进。他们通过组合了几何工具去限制可能的解决方案,创造了一种更快的算法。
在历尽逾三十年的搜索之后,在超级计算机的帮助下,数学家发现了第九个 Dedekind 数。Dedekind 数由德国数学家 Richard Dedekind 在 1897 年定义,其核心是布尔函数(即其值为 false 或 true),它是将 n 个布尔变量作为输入,生成另一个布尔变量作为输出的函数。前六个 Dedekind 数都非常简单,D(1)是 2,之后是 3、6、20、168、7581,后面的数愈来愈大。1991 年当时最强大超算之一的 Cray-2 花了 200 小时计算出 D(8),32 年后德国帕德博恩大学的数学家使用 Noctua 2 超算和现场可编程门阵列(FPGA)计算出 D(9)为 286 386 577 668 298 411 128 469 151 667 598 498 812 366,这是一个 42 位的数。D(10)无疑也要花费很长时间才可能发现。
抛硬币得到正面和反面的概率被认为是 50% 对 50%。如果落在一面的概率比另一面高,那么我们会说存在正反面偏差。前职业魔术师、斯坦福数学统计学教授 Persi Diaconis 指出,当人们抛一枚普通硬币时会引入一个小幅度的“进动”——整个硬币的轨迹中对旋转轴方向的一个变动。结果是硬币更可能落在开始抛出的那一面,即所谓的“同面偏差”。他的模型预测硬币落在开始抛出那一面的概率大约为 51%。欧洲研究人员收集了 350,757 次抛硬币的情况,结果强有力的支持了Diaconis 的预测,落在同面的概率为 0.508。这一现象对不同硬币都适用。
一百多年以来,科学家知道人类大脑更擅长数 4 以内的数字,超过 4 就会卡顿下。对大脑神经元活动的分析发现,原因是大脑用一种机制评估 4 以内的数,用另一种机制评估 5 以及 5 以上的数。17 名患者在德国波恩大学医院(University Hospital Bonn)接受癫痫治疗,为做手术他们的大脑中植入了电极。这让研究人员有机会记录清醒时大脑神经元的活动。他们向这些患者展示了 1-9 个点的图案,询问他们看到的是奇数点还是偶数点。结果显示,当他们看到的是 4 以内的点时,答案更精确。神经元活动的分析发现,4 以内的数由专门的神经元处理,5-9 数则由另外的神经元处理。
德国图宾根大学的研究人员首次发现乌鸦能执行统计推理。研究人员已经发现乌鸦具有复杂的数字能力,表现出抽象思维,在决策时深思熟虑。在最新的实验中,研究人员测试了乌鸦的统计推理能力。研究人员首先训练两只乌鸦啄触摸屏上的不同图像以获取食物。他们随后显著增加了先啄后吃的难度,引入了概率的概念,乌鸦不是每次啄图像都能获得食物奖励。乌鸦很快学会了不同图像与获得奖励的概率之间的关联。他们让乌鸦在两幅图像进行选择,每幅图像对应不同奖励概率。在 10 天训练和 5000 次试验后,研究人员发现乌鸦持续选择高概率奖励的图像,显示它们具有使用统计推理的能力。在间隔一个月后,乌鸦仍然能记住奖励概率。
2012 年日本京都大学数学家望月新一宣称证明了 ABC 猜想。该猜想涉及到数论中的质数、加法和乘法之间的关系。问题是望月新一的论文超过 500 页,依赖于大量新的定义、符号和理论,绝大多数数学家都难以理解。菲尔茨奖得主、波恩大学数学家 Peter Scholze 和法兰克福大学的 Jakob Stix 数年后将其论文翻译到数学家更熟悉的术语,指出他的逻辑存在“无法修复的漏洞”。望月对此的回应是他们没能理解他的证明。这件事提出了一个根本性问题:什么是数学证明?人们倾向于将其视为某种永恒真理的启示,但也许最好将其理解为一种社会契约。蒙特利尔大学的 Andrew Granville 最近一直在思考该问题。他从小喜欢算术,但从未考虑从事数学研究。他父母都很早辍学,对大学一无所知。从剑桥数学系毕业后,他尝试了剧本改编,在寻求资金期间他去读了研究生,获得数学硕士学位,然后是博士学位。他在数学研究之路上再也没有回头。他在此后数十年里写 175 篇论文,大部分与数论相关。他还写了些数学科普。他指出,大众媒体未能更好的描述数学家的研究。人们倾向于将数学视为一种纯粹的探索,数学家仅通过纯粹的思考就获得伟大的真理。但数学事实上是猜测——经常是错误的猜测。数学是一个实验过程。数学家在不同阶段获得不同的结论。
UCLA 数学教授陶哲轩在个人博客以及微软网站发表文章谈论了用 GPT-4 研究数学问题。他说,GPT-4 等生成式 AI 工具的出现将改变我们对于软硬件如何发展的预期。在以对话形式使用中,GPT-4 能充当一位富有同情心的倾听者,热情的共鸣者,创意灵感之源,翻译者或教师,魔鬼代言人。它们能在很多方面帮助我们。他以及很多人都开始使用 GPT-4 撰写文章的初稿。大模型确实会向用户返回经不起推敲的无稽之谈,但它们今天能为数学家提供线索并参与决策。陶哲轩预测到 2026 年生成式 AI 将能成为数学和其它领域的研究合作者。
被称为大学航空炸弹客的美国数学家、无政府主义者、恐怖分子 Ted Kaczynski 在狱中去世,终年 81 岁。他在 16 岁时进入哈佛读本科,在密歇根大学获得数学博士学位,25 岁时成为加州伯克利最年轻的数学系助理教授,1973 年在蒙大拿州隐居。从 1978 年至 1995 年,他向大学教授、大型企业主管以及航空公司邮寄炸弹,共造成 3 人死亡 23 人受伤。1995 年 4 月,他向美国多间报社和杂志社发信,承诺如果《纽约时报》和《华盛顿邮报》刊登他长达 3 万 5 千字的论著——《论工业社会及其未来》(Industrial Society & Its Future),他便会停止持续近 18 年的连环炸弹案。FBI 最终以“阻止炸弹案再次发生”为由,允许刊登其论文。他在《论工业社会及其未来》中解释了自己的犯罪动机。他认为工业社会必将侵蚀人类自由,技术革新将会带来过度发展的人类基因工程,致使人类不断适应并服务于社会体系,并最终被后者完全控制。因此他主张为了推翻工业体系的革命,作为象征,他将推动科技发展的科学家和工程师等高级技术人才作为袭击目标,企图以科技倒退的形式达成人类自由的解放。他在 1996 年被捕,被判了8 项连续终身监禁,不得假释。
互联网档案馆上线了一组旧式计算器的模拟器“Calculator Drawer”,如德州仪器的图形计算器系列,包括 TI 73 Explorer、81、82、83 Plus、85、86 和 89,以及惠普的一系列计算器 HP 38G、48G+、48GX 和 49G,Vtech Number Muncher 等等。部分模拟器还支持声音。模拟器利用了 MAME Artwork System,让创造出原始图形计算器的数字克隆成为可能。
《自然》发表一篇流行病学研究论文警告称,科研人员开展的一项研究显示,气候与土地利用的变化或促进了病原体从蝙蝠溢出到其他动物。这项研究中,科研人员对采集自澳大利亚的数据开展的一项分析显示,食物短缺和自然生境丧失使得蝙蝠在人类居住地区持续存在,导致亨德拉(Hendra)病毒(一种新的人畜共患病)溢出到中间宿主——马。该研究表明,理解生境丧失、气候变化和溢出风险之间的关联,或有助于制定预防未来大流行的措施。据论文介绍,人畜共患病外溢是指一种病原体从动物传播至人类,一般需要通过某种中间宿主。亨德拉病毒便是其中一种,这是一种通过蝙蝠传播的病毒,主要感染大型果蝠(澳大利亚狐蝠)。亨德拉病毒不会导致蝙蝠死亡,但能传播给马,然后从马这个中间宿主再传给人类,导致严重或致命的疾病。之前有研究发现,土地利用变化或许与病毒从野生动物溢出到人类有关,但这项新研究为阐明其背后机制提供了翔实证据。
数学家张益唐在预印本平台 arXiv 上发表了备受瞩目的朗道-西格尔零点猜想论文。他并没有说自己证明了这一猜想,而是类似他在 2013 年发表的孪生素数猜想论文,改进了下界,并使用了一个数字 2022。有人开玩笑说这是他为什么在 2022 年发表的原因。他长达 111 页的论文也为后续改进提供了有用的工具。
1963 年数学家罗伊·克尔(Roy Kerr)发现了爱因斯坦广义相对论的一个精确解。今天称之为克尔黑洞/克尔度规的解描述了一旋转、球对称之质量庞大物体(如黑洞)周遭真空区域的时空几何。60 年来研究人员一直尝试从数学上证明克尔黑洞是稳定的。如果不稳定则意味着爱因斯坦的引力理论需要在基础层面进行修改。法国 Sorbonne 大学数学家 Jérémie Szeftel 和普林斯顿大学的 Sergiu Klainerman 在 2021 年发表了一篇 800 页的论文,今年 5 月 30 日与哥伦比亚大学的 Elena Giorgi 合作发表了一篇 912 页的论文,再加上三篇背景论文,总共约 2100 页,在数学上证明克尔黑洞是稳定的。最新成果被誉为广义相对论数学发展的一个里程碑。其中 2021 年的论文已被接受出版,但今年的论文尚未通过同行审议。